Question

已知函數(shù)（a＞0，且a≠1），其中為常數(shù)．如果 是增函數(shù)，且存在零點（為的導函數(shù)）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函數(shù)y＝g（x）的圖象上兩點，（ 為的導函數(shù)），證明：

Answer 1

解：（Ⅰ）因為，
所以．
因為h（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以在區(qū)間上恒成立．
若0<a<1，則lna<0，于是恒成立．
又存在正零點，
故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1與lna<0矛盾．
所以a>1．
由恒成立，
又存在正零點，
故△＝（－2lna）²－4lna＝0，
所以lna＝1，即a＝e．
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，
以下證明．      
上式等價于．
令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x
r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，
所以r（x）在（0，x₂］上為增函數(shù)．
當x₁<x₂時，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，
從而得到證明
對于，同理可證
所以．