Question

3．已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{xsinθ}$+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），f（x）=mx-$\frac{m-1}{x}$-lnx（m∈R）．
（1）求θ的值；
（2）設h（x）=$\frac{2e}{x}$，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知$\frac{sinθ•x-1}{sinθ{•x}^{2}}$≥0．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，結合θ∈（0，π），可以得到θ的值．
（2）構造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(xiàn)（x）=mx-$\frac{m}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，由此入手可以得到m的取值范圍是（ $\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）

解答 解：（1）由題意，g′（x）=-$\frac{1}{sinθ{•x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即$\frac{sinθ•x-1}{sinθ{•x}^{2}}$≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只須sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．結合θ∈（0，π），得θ=$\frac{π}{2}$，
（2）構造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(xiàn)（x）=mx-$\frac{m}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，
當m≤0時，x∈[1，e]，mx-$\frac{m}{x}$≤0，-2lnx-$\frac{2e}{x}$＜0，
所以在[1，e]上不存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．
當m＞0時，F(xiàn)′（x）=$\frac{{mx}^{2}-2x+m+2e}{{x}^{2}}$，
因為x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調遞增，F(xiàn)（x）_max=F（e）=me-$\frac{m}{e}$-4，只要me-$\frac{m}{e}$-4＞0，
解得：m＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
故m的取值范圍是：（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細解答．