Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

2a2

x

+x（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直則f′（1）=-2，從而可求出a的值；
（2）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f′（x）=

a

x

-

2a

x2

+1（x＞0）
根據(jù)題意，有f′（1）=-2，所以2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

；
（2）f′（x）=

(x-a)(x+2a)

x2

（x＞0）
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)閤＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．
所以函數(shù)f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)閤＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞-2a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜-2a．
所以函數(shù)f（x）在（-2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，-2a）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．