Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）在（1）、（2）的條件下，若對任意的t∈R，不等式f（t²+2）≥f（k+2t）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，即可求得a；
（2）函數(shù)f（x）在R上遞增．運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差和變形、定符號和下結(jié)論；
（3）運(yùn)用單調(diào)性，不等式f（t²+2）≥f（k+2t）對任意的t∈R恒成立，即為t²+2≥k+2t對任意的t∈R恒成立，即k≤t²-2t+2=（t-1）²+1，求出右邊的最小值即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，
即有a-

2

20+1

=0，解得，a=1；
（2）函數(shù)f（x）在R上遞增．
理由如下：設(shè)m＜n，則f（m）-f（n）=1-

2

2m+1

-（1-

2

2n+1

）
=

2(2m-2n)

(1+2m)(1+2n)

，
由于m＜n，則2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，2^m＞0，2ⁿ＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即有函數(shù)f（x）在R上遞增；
（3）由于函數(shù)f（x）在R上遞增，
則不等式f（t²+2）≥f（k+2t）對任意的t∈R恒成立，
即為t²+2≥k+2t對任意的t∈R恒成立，
即k≤t²-2t+2=（t-1）²+1，
當(dāng)t=1時，右邊去最小值1．
故k≤1．
故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的證明和運(yùn)用：解不等式，注意不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，屬于中檔題．