Question

（2013•閔行區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=x|x-a|-

1

4

，x∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，指出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間和奇偶性（不需說(shuō)明理由）；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（2^x）的零點(diǎn)；
（3）若對(duì)任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，利用分段函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x|x-1|-

1

4

，欲求函數(shù)y=f（2^x）的零點(diǎn)，即求對(duì)應(yīng)方程的根．由f（2^x）=0解得x的值即可；
（3）當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考慮x∈（0，1]，此時(shí)原不等式變?yōu)?span id="ljxhhzf" class="MathJye">|x-a|＜

1

4x

，即x-

1

4x

＜a＜x+

1

4x

．再構(gòu)造函數(shù)，研究其最值即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[

1

2

，1]…（2分）
函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．        …（2分）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x|x-1|-

1

4

，
由f（2^x）=0得2x|2x-1|-

1

4

=0…（2分）
即

2x≥1 (2x)2-2x- 1 4 =0

或

2x＜1 (2x)2-2x+ 1 4 =0

…（2分）
解得2x=

1+ 2

2

或2x=

1- 2

2

(舍)，或2x=

1

2

所以x=log2

1+ 2

2

=log2(1+

2

)-1或x=-1．    …（2分）
（3）當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考慮x∈（0，1]，此時(shí)原不等式變?yōu)?span id="n1r7jlj" class="MathJye">|x-a|＜

1

4x

即x-

1

4x

＜a＜x+

1

4x

…（2分）
故(x-

1

4x

)max＜a＜(x+

1

4x

)min，x∈(0，1]
又函數(shù)g(x)=x-

1

4x

在（0，1]上單調(diào)遞增，∴(x-

1

4x

)max=g(1)=

3

4

…（2分）
函數(shù)h(x)=x+

1

4x

在(0，

1

2

]上單調(diào)遞減，在[

1

2

，1]上單調(diào)遞增，
∴(x+

1

4x

)min=h(

1

2

)=1；
所以

3

4

＜a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

3

4

，1)．…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題以分段函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性、恒成立等問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)．