四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，其中底面ABCD為梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且AP=AB=AD=2BC=6，M在棱PA上，滿足AM=2MP．
（Ⅰ）求三棱錐M-BCD的體積；
（Ⅱ）求異面直線PC與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）證明：PC∥面MBD．
分析：（Ⅰ）先求得 S△BCD=SABCD-S△ABD=
AB(BC+AD)
2
-
AB•AD
2
的值，且AM=4，再由VM-BCD=
1
3
S△BCD•MA運算求得結(jié)果．
（Ⅱ）取AD中點N，連CN，∠PCN或其補角就是PC與AB所成角．求得PC、CN、PN的值，利用余弦定理求得cos∠PCN=
2
3
，即可得到異面直線PC與AB所成角余弦值．
（Ⅲ）連AC交BD于Q，連MQ，利用平行線的性質(zhì)可得
AQ
QC
=
AM
MP
，可得MQ∥PC，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得 PC∥面MBD．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得，四邊形ABCD為直角梯形，S△BCD=SABCD-S△ABD=
AB(BC+AD)
2
-
AB•AD
2
=27-18=9，且AM=4，
故VM-BCD=
1
3
S△BCD•MA=12．------（5分）
（Ⅱ）取AD中點N，連CN，PN，易知AB∥CN，∴∠PCN或其補角就是PC與AB所成角．------（7分）
在△PCN中，∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC，PC=9，
又∵CN=AB=6，PN=3
5
，∴cos∠PCN=
2
3
，
∴異面直線PC與AB所成角余弦值為
2
3
．--------（10分）
（Ⅲ）連AC交BD于Q，連MQ，∵AD∥BC，∴
AQ
QC
=
AD
BC
=2．
又∵
AM
MP
=2，則
AQ
QC
=
AM
MP
，∴MQ∥PC．----------（13分）
又∵PC?面MBD，MQ?面MBD，
∴PC∥面MBD．----------（15分）
點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求棱錐的體積，用間接解法求三角形的面積，異面直線所成的角的定義和求法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PD、PC、BC的中點．
（I）求證：PA∥平面EFG；
（II）求平面EFG⊥平面PAD；
（III）若M是線段CD上一點，求三棱錐M-EFG的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2
2
，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=
12
，AD=1．
（I）求證：CD⊥平面PAC
（II）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，M為AB的中點．
（1）求證：BC∥平面PMD；
（2）求證：PC⊥BC；
（3）求點A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）求證：PA∥平面MDB；
（2）求證：AD⊥平面PQB；
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，且M為PC的中點，求四棱錐M-ABCD的體積．

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