Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-n（n∈N^*）則=    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)條件求出a₁=1；再根據(jù)S_n=2a_n-n得到S_n+1=2a_n+1-（n+1）；兩式作差可得a_n+1-a_n=a_n+1以及a_n+1=2a_n+1，進而推出數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列；再代入所求即可得到結論．
解答：解：由題得：S₁=2a₁-1⇒a₁=1．
∵S_n=2a_n-n          ①，
∴S_n+1=2a_n+1-（n+1）②
②-①得：a_n+1=2a_n+1-2a_n-1
所以有：a_n+1-a_n=a_n+1  ③
以及a_n+1=2a_n+1⇒a_n+1+1=2（a_n+1）⇒數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+1=（a₁+1）q^n-1=2×2^n-1=2ⁿ．
∴
=
=
=
=1-．
故答案為：1-．
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的和．是一道很好的題目，解決問題的關鍵在于利用S_n=2a_n-n得到S_n+1=2a_n+1-（n+1）；兩式作差可得a_n+1-a_n=a_n+1以及a_n+1=2a_n+1，進而推出數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列．