Question

已知，函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：對(duì)于任意的，都有.

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，先對(duì)求導(dǎo)，利用單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，通過(guò)解不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第二問(wèn)，由于對(duì)于任意的，都有 對(duì)于任意的，都有，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合求出的最小值和的最大值，進(jìn)行比較，看是否符合.
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051807736293.png" style="vertical-align:middle;" />,，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051807767398.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，當(dāng)，或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,．        6分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051807720447.png" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，，
所以，當(dāng)時(shí)，．
由，可得．
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，
對(duì)于任意的，都有，，所以．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，
對(duì)于任意的，都有，，所以．
綜上，對(duì)于任意的，都有．      13分