（2012•黃浦區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-
5π
12
，
π
3
]，求f（x）的取值范圍．
分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1，由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z求得x的范圍，即可求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（2）根據(jù)x∈[-
5π
12
，
π
3
]，求出-
2π
3
≤2x+
π
6
≤
5π
6
，結(jié)合圖象得到-1≤sin(2x+
π
6
)≤1，從而求得函數(shù)f（x）的取值范圍．
解答：解（1）∵f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-1，
∴f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1．（2分）
解2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈Z．   　　　　　　 （6分）
（2）∵x∈[-
5π
12
，
π
3
]，
∴-
2π
3
≤2x+
π
6
≤
5π
6
．          （7分）
考察函數(shù)y=sinx，易知，-1≤sin(2x+
π
6
)≤1，（8分）
∴-3≤2sin(2x+
π
6
)-1≤1，
∴函數(shù)f（x）的取值范圍是[-3，1]．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)二模）已知α、β∈（0，
π
2
），若cos（α+β）=
5
13
，sin（α-β）=-
4
5
，則cos2α=
63
65
63
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)二模）對n∈N*，定義函數(shù)fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n．
（1）求證：y=fn（x）圖象的右端點與y=fn+1（x）圖象的左端點重合；并回答這些端點在哪條直線上．
（2）若直線y=knx與函數(shù)fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N*）的圖象有且僅有一個公共點，試將kn表示成n的函數(shù)．
（3）對n∈N*，n≥2，在區(qū)間[0，n]上定義函數(shù)y=f（x），使得當(dāng)m-1≤x≤m（n∈N*，且m=1，2，…，n）時，f（x）=fm（x）．試研究關(guān)于x的方程f（x）=fn（x）（0≤x≤n，n∈N*）的實數(shù)解的個數(shù)（這里的kn是（2）中的kn），并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)二模）如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=|x2-2ax+a|（x∈R），給出下列四個命題：
①當(dāng)且僅當(dāng)a=0時，f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）一定存在零點；
③函數(shù)在區(qū)間（-∞，a]上單調(diào)遞減；
④當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的最小值為a-a2．
那么所有真命題的序號是
①④
①④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)二模）函數(shù)f（x）=log
1
2
(2x+1)的定義域為
（-
1
2
，+∞）
（-
1
2
，+∞）
．

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