Question

【題目】已知函數(shù)f（xt）=xt2+bxt ．
（1）若b=2，且xt=log2t，t∈[ ，2]，求f（xt）的最大值；
（2）當(dāng)y=f（xt）與y=f（f（xt））有相同的值域時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) ．b=2，且xt=log2t， ，

∴xt∈[﹣1，1]，

∴ ，對(duì)稱軸為xt=﹣1，

可得xt∈[﹣1，1]的最大值為f（1）=3

（2）解： ，xt∈R

當(dāng) 時(shí)， ，∴y=f（xt）的值域?yàn)? ，

∵

令u=f（xt），則

函數(shù)y=f（f（xt））即為：y=u2+bu，

若y=f（xt）與y=f（f（xt））有相同的值域，則等價(jià)于它們有相同的最小值

即滿足：

所以：b∈（﹣∞，0]∪[2，+∞）

【解析】（1）利用已知條件，化簡(jiǎn)f（xt）的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值求解最大值；（2）求出y=f（xt）與y=f（f（xt））的最小值，利用值域相同，列出不等式即可求b的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．