Question

已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)面與底面所成的二面角為60°，E、F分別是側(cè)棱PA、PD的中點(diǎn)．求：
（Ⅰ）直線BE與側(cè)棱PC所成的角的大�。�
（Ⅱ）AC與截面BCFE所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)側(cè)面與底面所成的二面角為60°可得△PMN是等邊三角形；再設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O可得∠BEO是PC與BE所成的角；最后通過(guò)計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)即可求出直線BE與側(cè)棱PC所成的角的大��；
（Ⅱ）過(guò)O作OH⊥GN于H，先根據(jù)BC⊥MN，BC⊥PN證得BC⊥平面PMN；進(jìn)而得到平面BCFE⊥平面PMN，可得OH⊥平面BCFE，進(jìn)而分析出∠OCH是直線AC與平面BCFE所成的角，最后通過(guò)計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)即可求出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）分別取AD、BC中點(diǎn)M、N，連接PM交EF于G，連接PN、GN、MN．
則PM⊥AD，MN⊥AD．∠PMN是側(cè)面與底面所成的二面角的平面角．
故∠PMN=60°，△PMN是等邊三角形．  …（2分）
設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，連接OE，則OE∥PC，
∠BEO是PC與BE所成的角．                            …（4分）
∵PO⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，從而BO⊥OE，AB=4，
則OB=2

2

，OE=

1

2

PC=

5

，
tan∠BEO=

OB

OE

=

2 10

5

，BE與PC所成的角為arctan

2 10

5

；  …（6分）
（Ⅱ）過(guò)O作OH⊥GN于H，連接CH．
∵BC⊥MN，BC⊥PN，MN∩PN=N，
∴BC⊥平面PMN．      …（8分）
∴平面BCFE⊥平面PMN．
∴OH⊥平面BCFE．
∠OCH是直線AC與平面BCFE所成的角．…（10分）
在Rt△OCH中，OH=

1

2

MG=1，OC=2

2

，
sin∠OCH=

OH

OC

=

2

4

．
因此AC與平面BCFE所成的角為arcsin

2

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面角以及線線角的求法．一般在求異面直線所成角時(shí)，常用方法是通過(guò)做平行線把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，再通過(guò)求三角形的邊長(zhǎng)進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的角即可．