已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1的一個焦點為F(0，2
2
)，與兩坐標軸正半軸分別交于A，B兩點（如圖），向量
AB
與向量
m
=(-1，
2
)共線．
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為k的直線過點C（0，2），且與橢圓交于P，Q兩點，求△POC與△QOC面積之比的取值范圍．
分析：（1）利用向量共線，確定a，b的關系，結合橢圓的焦點坐標，即可求得橢圓的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，即可求得比值的范圍．
解答：解：（1）由向量
AB
與向量
m
=(-1，
2
)共線，可得
a
b
=
2

∵焦點為F(0，2
2
)，∴a2-b2=8，∴b2=8，a2=16
∴橢圓的方程為
y2
16
+
x2
8
=1；
（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），且x1＜0，x2＞0，
PQ的方程為y=kx+2，代入橢圓方程消去y，可得（2+k2）x2+4kx-12=0
∴x1+x2=-
4k
2+k2
①，x1x2=-
12
2+k2
②
設△POC與△QOC面積之比為λ，即-
x2
x1
=λ
結合①②得（1-λ）x1=-
4k
2+k2
，λx12=-
12
2+k2

∴
λ
(1-λ)2
=
3
4
(1+
2
k2
)＞
3
4

∴
1
3
＜λ＜3
∴△POC與△QOC面積之比的取值范圍為
1
3
＜λ＜3．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF1與直線DF2的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）（其中a2-b2=c2）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側，求橢圓離心率的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1 (a＞b＞0)的離心率e滿足3， 
1
e
， 
4
9
成等比數(shù)列，且橢圓上的點到焦點的最短距離為2-
3
．過點（2，0）作直線l交橢圓于點A，B．
（1）若AB的中點C在y=4x（x≠0）上，求直線l的方程；
（2）設橢圓中心為，問是否存在直線l，使得的面積滿足2S△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上下焦點分別為F1，F(xiàn)1，短軸兩個端點為P，P1，且四邊形F1PF2P1是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）設△ABC，AC=2
3
，B為橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）在x軸上方的頂點，當AC在直線y=-1上運動時，求△ABC外接圓的圓心Q的軌跡E的方程；
（3）過點F（0，
3
2
）作互相垂直的直線l1l2，分別交軌跡E于M，N和R，Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：南通模擬 題型：解答題

平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF1與直線DF2的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案