Question

數(shù)學(xué)課上，張老師用六根長度均為a的塑料棒搭成了一個正三棱錐（如圖所示），然后他將其中的兩根換成長度分別為在

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a和

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a的塑料棒、又搭成了一個三棱錐，陳成同學(xué)邊聽課邊動手操作，也將其中的兩根換掉，但沒有成功，不能搭成三棱錐，如果兩人都將BD換成了長為

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a的塑料棒．
（1）試問張老師換掉的另一根塑料棒是什么，而陳成同學(xué)換掉的另一根塑料棒又是什么？請你用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識解釋陳成同學(xué)失敗的原因；
（2）試證：平面ABD⊥平面CBD；
（3）求新三棱錐的外接球的表面積．

Answer 1

分析：（1）假定陳成同學(xué)換掉的是AC，然后根據(jù)換掉后的各邊的長度及各個面三角形的形狀推出在三角形BED中，BE+DE=BD這一矛盾來，，以之來解釋陳成同學(xué)失敗的原因．
（2）根據(jù)題目中的條件與同一性證出如圖中AF垂直于面BCD，然后再由面面垂直的判斷定理得出面面垂直即可．
（3）確定球心在直線AF上，然后在大圓面ABD上用半徑、弦長的一半、弦心距建立關(guān)于求半徑R的等式，從中求出球半徑R．再利用球的表面積公式計算出球的表面積．

解答：解：（1）張老師換掉的另一根塑料棒是CD（或AD、BC、BA），而陳成同學(xué)換掉的另一根塑料棒是AC．（3分）
根據(jù)題意作出如圖所示的圖形，其中圖（1）表示陳
成同學(xué)想搭成的三棱錐，取AC中點E，連接BE、DE，
因AB²+CB²=AC²=2a²，所以BE是直角△ABC斜邊上的中線，得BE=

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2

a•，
同理，DE=

2

2

a，
從而有BE+DE=

2

a＜

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a•=BD，不能構(gòu)成三角形，
所以圖（1）錯誤．（（5分））
證明：（2）如圖（2），不妨設(shè)張老師換掉的另一根塑料捧是CD，
取BD中點F，連接AF、CF，因△ABD是等腰三角形，
所以AF⊥BD，又△BCD是直角三角形．
所以CF=BF=DF．又AB=AC=AD，
所以△ABF≌△ACF，從而AF⊥CF，又CF與BD確定平面BCD，
所以AF⊥平面BCD．又AF?平面ABD，
所以平面ABD⊥平面CBD．（9分）
（3）由（2）可知：三棱錐的外接球的球心必在直線AF
上，設(shè)球半徑為R，因BF=

3

2

a，AB=a，
∴AF=

1

2

a，∴R2=(

3

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a)2+(R-

1

2

a)2，R=a，
所以新三棱錐的外接球的表面積S=4πa²．（12分）

點評：本題是一個能力題，考查答題者根據(jù)題目中的題設(shè)與要求證（求解）的結(jié)論來構(gòu)造相關(guān)圖形與選擇方法．對計算能力要求也較高．