Question

A．（極坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 已知圓ρ=3cosθ，則圓截直線

x=2+2t y=1+4t

（t是參數(shù)）所得的弦長(zhǎng)為

 

；
B．（幾何證明選講選做題） 如圖：PA與圓O相切于A，PCB為圓O的割線，并且不過(guò)圓心O，已知∠BPA=30°，PA=2

3

，PC=1，則圓O的半徑等于

 

．

Answer 1

分析：A把極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為普通方程，直線經(jīng)過(guò)圓心，可求出弦長(zhǎng)
B連AO并延長(zhǎng)，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到Rt△PAD，根據(jù)切割線定理得到PA²=PC•PB，根據(jù)相交弦定理得到CD•DB=AD•DE，最后即可解得圓O的半徑．

解答：解：A：圓ρ=3cosθ，它的直角坐標(biāo)方程x²+y²-3x=0，圓心坐標(biāo)（

3

2

，0），半徑為

3

2

，直線

x=2+2t y=1+4t

（t是參數(shù)）的直角坐標(biāo)方程為：2x-y-3=0，直線經(jīng)過(guò)圓心，所得的弦長(zhǎng)為：3．
故答案為：3．
B：如圖，連AO并延長(zhǎng)，交圓O與另一點(diǎn)E，交割線PCB于點(diǎn)D，
則Rt△PAD中，由∠DPA=30°，PA=2

3

，得AD=2，PD=4，而PC=1，
故CD=3，由切割線定理，得PA²=PC•PB，即 (2

3

)2=1•PB，則PB=11，
故DB=8．
設(shè)圓O的半徑為R，
由相交弦定理，CD•DB=AD•DE，即3×8=2（2R-2），
得R=7；
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：A題考查直線與圓的位置關(guān)系，注意經(jīng)過(guò)圓的直線弦長(zhǎng)的求法；B本小題主要考查圓的切割線定理和相交弦定理．屬于中檔題