Question

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)預(yù)測(cè)一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+

x

)x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元．
（Ⅰ）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)m=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最��？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出相鄰橋墩間距x米，需建橋墩(

m

x

-1)個(gè)，根據(jù)題意余下工程的費(fèi)用y為橋墩的總費(fèi)用加上相鄰兩墩之間的橋面工程總費(fèi)用即可得到y(tǒng)的解析式；
（Ⅱ）把m=640米代入到y(tǒng)的解析式中并求出y′令其等于0，然后討論函數(shù)的增減性判斷函數(shù)的最小值時(shí)m的值代入(

m

x

-1)中求出橋墩個(gè)數(shù)即可．

解答：解：（Ⅰ）相鄰橋墩間距x米，需建橋墩(

m

x

-1)個(gè)
則y=256(

m

x

-1)+(2+

x

)x•

m

x

=256•

m

x

+m

x

+2m-256，(0＜x＜m)
（Ⅱ）當(dāng)m=640米時(shí)，y=f（x）=640×（

256

x

+

x

）+1024
f′（x）=640×（-

256

x2

+

1

2 x

）=640×

x 3 2 -29

2x2

∵f′（2⁶）=0且x＞2⁶時(shí)，
f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
0＜x＜2⁶時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
∴f（x）_最小=f（x）_極小=f（2⁶）=8704
∴需新建橋墩

640

26

-1=9個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性以及求函數(shù)最值的能力．