Question

已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求：
（1）a₁+a₂+a₃+…+a₇；
（2）a₁+a₃+a₅+a₇；
（3）a₀+a₂+a₄+a₆；
（4）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)所給的等式可得常數(shù)項(xiàng)a₀=1，在所給的等式中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1，從而求得a₁+a₂+a₃+…+a₇ 的值．
（2）在所給的等式中，分別令x=1、x=-1，可得2個(gè)等式，化簡(jiǎn)這2個(gè)等式即可求得a₁+a₃+a₅+a₇ 的值．
（3）用①加上②再除以2可得 a₀+a₂+a₄+a₆ 的值．
（4）在（1+2x）⁷中，令x=1，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|的值．

解答： 解：（1）∵已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，∴常數(shù)項(xiàng)a₀=1．
在所給的等式中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₇ =-2．
（2）在所給的等式中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1①，
令x=-1可得得a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇=3⁷②，
用①減去②再除以2可得 a₁+a₃+a₅+a₇ =-1094．
（3）用①加上②再除以2可得 a₀+a₂+a₄+a₆ =1093．
（4）在（1+2x）⁷中，令x=1，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|=3⁷=2187．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式的系數(shù)和常用的方法是賦值法，屬于中檔題．