Question

如圖，設(shè)斜率為的直線l與橢圓（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2），F(xiàn)為其右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若F點(diǎn)到直線l的距離為，求△FAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，可求得，從而可求橢圓的離心率；
（2）利用F點(diǎn)到直線l的距離為，確定橢圓的方程，從而可求△FAB的面積．
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）
∴x₁+x₂=-5，y₁+y₂=4
∵直線l的斜率為，∴=
∵A，B在橢圓上，
∴，
兩式相減可得：+=0
∴+=0
∴，∴
∴；
（2）由（1）設(shè)a=5k，b=4k，則c=3k（k＞0），∴F（3k，0）
直線l的方程為y-2=（x+），即4x-5y+20=0
∵F點(diǎn)到直線l的距離為，∴=，∴k=1
∴橢圓方程為
∵直線l過(guò)橢圓上頂點(diǎn)（0，4）與左頂點(diǎn)（-5，0）
∴|AB|=
∴S_△FAB=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．