某電廠冷卻塔外形是如圖所示的雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面,其中A,A′是雙曲線的頂點,C,C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點,B,B′是冷卻塔下底直徑的兩個端點,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐標系并寫出該曲線的方程;

(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m3,塔壁厚度不計,π取3.14).

思路分析:設出雙曲線的方程,利用待定系數(shù)法求方程;利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積.

解:(1)建立如圖所示的直角坐標系xOy,使AA′在x軸上,AA′的中點為坐標原點O,CC′與BB′平行于x軸.

設雙曲線方程為=1(a>0,b>0),則a=AA′=7.

設B(11,y1),C(9,y2),因為點B,C在雙曲線上,所以有

=1,①

=1,②

由題意,知y2-y1=20.③

由①②③得y1=-12,y2=8,b=.故所求的雙曲線方程為=1.

(2)由雙曲線方程得x2=y2+49.設冷卻塔的容積為V(m3),

則V=π=π(y3+49y)=4.25×103(m3).

答:冷卻塔的容積為4.24×103(m3).

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2001•江西）某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸（即雙曲線的虛軸）旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B′是下底直徑的兩個端點，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．
（Ⅰ）建立坐標系并寫出該雙曲線方程；
（Ⅱ）求冷卻塔的容積（精確到10m3，塔壁厚度不計，π取3.14）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某電廠冷卻塔外形是如圖1-7-8所示的雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面,其中A,A′是雙曲線的頂點,C,C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點,B,B′是冷卻塔下底直徑的兩個端點,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

圖1-7-8

(1)建立坐標系并寫出該曲線的方程;

(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m3,塔壁厚度不計,π取3.14).

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年吉林省高二上學期期末考試理科數(shù)學卷 題型：解答題

某電廠冷卻塔外形是如圖所示的雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面,其中A,A′是雙曲線的頂點,C,C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點,B,B′是冷卻塔下底直徑的兩個端點,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐標系并寫出該曲線的方程;

(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m3,塔壁厚度不計,π取3.14)

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某電廠冷卻塔外形是如圖1-7-8所示的雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面,其中A,A′是雙曲線的頂點,C,C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點,B,B′是冷卻塔下底直徑的兩個端點,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

圖1-7-8

(1)建立坐標系并寫出該曲線的方程;

(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m3,塔壁厚度不計,π取3.14).

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