Question

某人花費200萬元購買了一輛大客車，用于長途客運，預計這輛車每年收入約100萬元，車運營的花費P（萬元）與運營年數x（x∈N^*）的關系為p=8x（1+x）．
（1）寫出這輛車運營的總利潤y（萬元）與運營年數x（x∈N^*）的函數關系式；
（2）這輛車運營多少年，可使年平均運營利潤w最大？最大為多少？

Answer 1

分析：（1）由題意可得：這輛車x年總收入為100x萬元，總支出為200+8x（1+x）（萬元）．用總收入減去總支出即可得到總利潤；
（2）年平均利潤為w=

y

x

=

4(-2x2+23x-50)

x

=4[23-2(x+

25

x

)]．利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）依題意，這輛車x年總收入為100x萬元，
總支出為200+8x（1+x）（萬元）．
∴y=100x-[200+8x（1+x）]=-8x²+92x-200=4（-2x²+23x-50）．
（2）年平均利潤為w=

y

x

=

4(-2x2+23x-50)

x

=4[23-2(x+

25

x

)]．
又x∈N^*，∴x+

25

x

≥2 

x• 25 x

=10，
當且僅當x=5時，等號成立，此時w≤4×（23-20）=12．
∴這輛車運營5年，可使年平均運營利潤w最大為12萬元．
答：（1）這輛車運營的總利潤y（萬元）與運營年數x（x∈N^*）的函數關系式是y=-8x²+92x-200．；
（2）這輛車運營5年，可使年平均運營利潤w最大，最大為12萬元．

點評：本題考查了“總利潤=總收入-總支出”的關系、基本不等式的性質等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．