Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（3）試問線段A₁B上是否存在點(diǎn)E，使C₁E與平面ADC₁成30°角？若存在，確定E點(diǎn)位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直三棱柱的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可得出；
（2）由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB₁兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz．利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角；
（3）利用線面角的夾角公式即可得出．

解答：（1）證明：連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連接OD．
由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點(diǎn)．
又D為BC中點(diǎn)，∴OD為△A₁BC中位線，
∴A₁B∥OD．
∵OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁．
（2）解：由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB₁兩兩垂直．
如圖建立空間直角坐標(biāo)B-xyz．
設(shè)BA=2，則B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），D（1，0，0）．
所以 

AD

=(1，-2，0)，

AC1

=(2，-2，1)
設(shè)平面ADC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • AD =0 n • AC1 =0

，
所以 

x-2y=0 2x-2y+z=0

，取y=1，得

n

=(2，1，-2)．
易知平面ADC的法向量為

v

=（0，0，1）．
由二面角C₁-AD-C是銳角，得 cos＜

n

，

v

＞=

| n • v |

| n | | v |

=

2

3

．
所以二面角C₁-AD-C的余弦值為

2

3

．
（3）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，設(shè)E（0，a，b）．
∵E在線段A₁B上，由

BE

=λ

BA1

且其中0≤λ≤1，

BE

=(0，a，b)

BA1

=(0，2，1)
即（0，a，b）=λ（0，2，1），

a=2λ b=λ

，E（0，2λ，λ）．
∴

C1E

=(-2，2λ，λ-1)，
以由（2）知

n

=(2，1，-2)，∵

C1E

與平面ADC₁成30⁰角，
∴sin300=|cos?

C1E

，

n

＞|=|

C1E • n

| C1E || n |

|=

1

2

．
即|

-4+2λ-2λ+2

4+4λ2+(λ-1)2 • 9

|=

1

2

，|

-2

5λ2-2λ+5 •3

|=

1

2

，
化為45λ²-18λ+29=0，
∵△＜0，∴方程無解．
所以在線段A₁B上不存在點(diǎn)E．

點(diǎn)評：熟練掌握直三棱柱的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz并利用兩個平面的法向量的夾角求二面角、線面角的夾角公式等是解題的關(guān)鍵．．