Question

已知函數(shù)f（x），x∈R是偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當x∈[0，2]時，f（x）=1-x，則方程f(x)=

1

1-|x|

在區(qū)間[-10，10]上的解的個數(shù)是（　　）

Answer 1

分析：由題意可求得函數(shù)是一個周期函數(shù)，且周期為4，故可以研究出一個周期上的函數(shù)圖象，再研究所給的區(qū)間包含了幾個周期即可知道在這個區(qū)間中的零點的個數(shù)．

解答：解：函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），
又f（2-x）=f（2+x），可得f（4-x）=f（x），
故可得f（-x）=f（4-x），即f（x）=f（x+4），即函數(shù)的周期是4，
又x∈[0，2]時，f（x）=1-x，要研究方程f(x)=

1

1-|x|

在區(qū)間[-10，10]上解的個數(shù)，
可將問題轉化為y=f（x）與y=

1

1-|x|

在區(qū)間[-10，10]有幾個交點．
如圖：

由圖知，有9個交點．
故選B．

點評：本題考查函數(shù)的零點，求解本題，關鍵是研究出函數(shù)f（x）性質，作出其圖象，將方程解的個數(shù)的問題轉化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題是本題中的一個亮點，此一轉化使得本題的求解變得較容易．