A. | $[\frac{{\sqrt{3}}}{3},1]$ | B. | $[\frac{{2\sqrt{2}}}{3},1]$ | C. | $[\frac{{\sqrt{6}}}{3},\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$ | D. | $[\frac{{\sqrt{6}}}{3},1]$ |
分析 設(shè)正方體ABCD-A′B′C′D′中棱長(zhǎng)為2,以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出sinα的取值范圍.
解答 解:設(shè)正方體ABCD-A′B′C′D′中棱長(zhǎng)為2,
以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
D(0,0,0),B(2,2,0),A′(2,0,2),
$\overrightarrow{DB}$=(2,2,0),$\overrightarrow{D{A}^{'}}$=(2,0,2),
設(shè)平面BDA′的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}^{'}}=2x+2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}=(1,-1,-1)$,
E(1,1,0),設(shè)CF=t,(0≤t≤2),
當(dāng)t=0時(shí),F(xiàn)(0,2,0),$\overrightarrow{EF}$=(-1,1,0),
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$;
當(dāng)t=1時(shí),F(xiàn)(0,2,1),$\overrightarrow{EF}$=(-1,1,1),
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=1;
當(dāng)t=2時(shí),F(xiàn)(0,2,2),$\overrightarrow{EF}$=(-1,1,2),
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{3}×\sqrt{4}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
∴sinα的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{3}$,1].
故選:D.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面 | B. | 一點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面 | ||
C. | 四邊形一定是平面圖形 | D. | 梯形一定是平面圖形 |
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A. | 若α⊥β,m?α,則m⊥β | B. | 若α⊥β,m⊥α,則m∥β | ||
C. | 若m∥α,α∩β=n,則m∥n | D. | 若m∥α,m∥β,α∩β=n,則m∥n |
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