19.如圖,正方體ABCD-A′B′C′D′中,$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BE}$.設(shè)點(diǎn)F在線段CC'上,直線EF與平面A'BD所成的角為α,則sinα的取值范圍是( 。
A.$[\frac{{\sqrt{3}}}{3},1]$B.$[\frac{{2\sqrt{2}}}{3},1]$C.$[\frac{{\sqrt{6}}}{3},\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$D.$[\frac{{\sqrt{6}}}{3},1]$

分析 設(shè)正方體ABCD-A′B′C′D′中棱長(zhǎng)為2,以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出sinα的取值范圍.

解答 解:設(shè)正方體ABCD-A′B′C′D′中棱長(zhǎng)為2,
以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
D(0,0,0),B(2,2,0),A′(2,0,2),
$\overrightarrow{DB}$=(2,2,0),$\overrightarrow{D{A}^{'}}$=(2,0,2),
設(shè)平面BDA′的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}^{'}}=2x+2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}=(1,-1,-1)$,
E(1,1,0),設(shè)CF=t,(0≤t≤2),
當(dāng)t=0時(shí),F(xiàn)(0,2,0),$\overrightarrow{EF}$=(-1,1,0),
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$;
當(dāng)t=1時(shí),F(xiàn)(0,2,1),$\overrightarrow{EF}$=(-1,1,1),
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=1;
當(dāng)t=2時(shí),F(xiàn)(0,2,2),$\overrightarrow{EF}$=(-1,1,2),
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{3}×\sqrt{4}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
∴sinα的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{3}$,1].
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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