Question

19．如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′中，$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BE}$．設(shè)點(diǎn)F在線段CC'上，直線EF與平面A'BD所成的角為α，則sinα的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1]$
• B． $[\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，1]$
• C． $[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1]$

Answer 1

分析 設(shè)正方體ABCD-A′B′C′D′中棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出sinα的取值范圍．

解答 解：設(shè)正方體ABCD-A′B′C′D′中棱長(zhǎng)為2，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
D（0，0，0），B（2，2，0），A′（2，0，2），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{D{A}^{'}}$=（2，0，2），
設(shè)平面BDA′的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}^{'}}=2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，-1，-1）$，
E（1，1，0），設(shè)CF=t，（0≤t≤2），
當(dāng)t=0時(shí)，F(xiàn)（0，2，0），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，0），
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
當(dāng)t=1時(shí)，F(xiàn)（0，2，1），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，1），
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=1；
當(dāng)t=2時(shí)，F(xiàn)（0，2，2），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，2），
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{3}×\sqrt{4}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴sinα的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．