Question

已知點(diǎn)列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）順次為一次函數(shù)y=

1

4

x+

1

12

圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x₁=a（0＜a＜1），對(duì)于任意n∈N，點(diǎn)A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成一個(gè)頂角的頂點(diǎn)為B_n的等腰三角形．
（1）求數(shù)列{y_n}2的通項(xiàng)公式，并證明{y_n}3是等差數(shù)列；
（2）證明x_n+2-x_n5為常數(shù)，并求出數(shù)列{x_n}6的通項(xiàng)公式；
（3）問上述等腰三角形A_n8B_n9A_n+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)a值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）順次為一次函數(shù)y=

1

4

x+

1

12

，可得數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而有{y_n}是等差數(shù)列；
（2）根據(jù)△A_nB_nA_n+1與△A_n+1B_n+1A_n+2為等腰三角形，可得

xn+xn+1 2 =n xn+1+xn+1 2 =n+1

，兩式相減，即可求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）要使△A_nB_nA_n+1為直角三角形，則xn+1-xn=2(

n

4

+

1

12

)，根據(jù)（2）分n為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)，進(jìn)行討論，可求此時(shí)a值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）順次為一次函數(shù)y=

1

4

x+

1

12

∴yn=

1

4

n+

1

12

∴yn+1-yn=

1

4

∴{y_n}是等差數(shù)列；
（2）∵△A_nB_nA_n+1與△A_n+1B_n+1A_n+2為等腰三角形
∴

xn+xn+1 2 =n xn+1+xn+1 2 =n+1

．∴x_n+2-x_n=2
∴xn=

n+a-1(n為奇數(shù)) n-a(n為偶數(shù))

（3）要使△A_nB_nA_n+1為直角三角形，則xn+1-xn=2(

n

4

+

1

12

)
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x_n+1-x_n=2（1-a），∴2(

n

4

+

1

12

)=2(1-a)
∴a=

11

12

-

n

4

(n為奇數(shù)，0＜a＜1)
n=1，得a=

2

3

，n=3得a=

1

6

，n≥5，則無解；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，同理得a=

1

12

n

4

(n為偶數(shù)，0＜a＜1)
 n=2，得 a=

7

12

，n≥4，則無解；
∴存在直角三角形，此時(shí)a值為

2

3

，

1

6

，

7

12

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查數(shù)列知識(shí)，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查分類討論思想，有較強(qiáng)的綜合性．