Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分別為AB、PC的中點．
（1）求異面直線PA與BF所成角的正切值．
（2）求證：EF⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）求兩異面直線的夾角的方法有線段變化平移與線段不變化平移，平移線段后組成三角形，再利用解三角形的方法求解兩異面直線的夾角的三角函數(shù)值．
（2）直線與平面垂直的判定是直線垂直于平面內的兩條相交直線，注意線面垂直于線線垂直的相互轉化．

解答：解：（1）如圖，連接AC
過點F作FO⊥面AC，交AC于點O，
∴FO⊥面ABCD
∵PA⊥平面ABCD，
∴FO∥PA且FO=

1

2

PA
連接BO，F(xiàn)B
∴∠BFO為異面直線PA與BF所成的角
在Rt△BOF中，OF=

1

2

PA=1，
OB=

2

，則tanBFO=

OB

OF

=

2

（2）連接OE、CE、PE．
∵E是AB的中點，
∴OE⊥AB
又FO⊥平面ABCD，
∴EF⊥AB．
∵AB∥CD
∴EF⊥CD
在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，
∴Rt△PAE≌Rt△CBE，
∴PE=CE
∴又F為PC的中點，
∴EF⊥PC．故EF⊥平面PCD．

點評：在立體幾何中線面，線線的平行與垂直關系是經�？疾榈膯栴}，以及線面角，線線角在高考中占分比較重．