Question

8．已知函數(shù)$f（x）=ln\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，若存在x₁＞0，x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂），則x₁-x₂的最小值為ln2．

Answer 1

分析 求出x₁-x₂的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出x₁-x₂的最小值即可．

解答 令 y=e^x₂-2，則 x₂=lny+2，令y=ln$\frac{{x}_{1}}{2}$+$\frac{1}{2}$，可得 x₁=2${e}^{y-\frac{1}{2}}$，
則x₁-x₂=2${e}^{y-\frac{1}{2}}$-lny-2，∴（x₁-x₂）′=2${e}^{y-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{y}$，
顯然，（x₁-x₂）′是增函數(shù)，觀察可得當(dāng)y=$\frac{1}{2}$時，（x₁-x₂）′=0，故（x₁-x₂）′有唯一零點(diǎn)．
故當(dāng)y=$\frac{1}{2}$時，x₁-x₂取得最小值為2e⁰-ln$\frac{1}{2}$-2=ln2，
故答案為：ln2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．