Question

在平面直角坐標系xoy中，點B與點A（0，2）關于原點O對稱，P是動點，AP⊥BP．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m與曲線C交于M、N兩點，
�。┤�，求實數(shù)m取值；
ⅱ）若點A在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)點B與點A（0，2）關于原點O對稱，得出B（0，-2）．如圖，由于AP⊥BP，得出動點P的軌跡C是以O為圓心，2為半徑的圓，最后寫出動點P的軌跡C的方程；
（II）i）設直線l：y=x+m與曲線C交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點，將直線的方程代入圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關系利用向量數(shù)量積的坐標公式即可求得m值，從而解決問題．
ii）若點A在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，則∠MAN＞90°，即，同i）理，即可求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）∵點B與點A（0，2）關于原點O對稱，
∴B（0，-2）．如圖，
∵AP⊥BP，
∴在直角三角形AOB中，OP=AB=4=2，
∴動點P的軌跡C是以O為圓心，2為半徑的圓，
它的方程為x²+y²=4．
（II）
i）設直線l：y=x+m與曲線C交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點，
聯(lián)立方程組，得2x²+2mx+m²-4=0，
則x₁+x₂=-m，x₁x₂=（m²-4），
且△=（2m）²-4×2（m²-4）≥0?≤m≤2．
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=（m²-4）+m（-m）+m²=（m²-4），
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=-1，
即m²-4=-1，∴m=±．
ii）若點A在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，則∠MAN＞90°，
即，
即（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）＜0，
x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4＜0
從而有：（m²-4）+（m²-4）-2（-m+2m）+4＜0
∴0＜m＜2．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．