Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

9

-

y2

27

=1與點(diǎn)M（5，3），F(xiàn)為右焦點(diǎn)，試在雙曲線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使|PM|+

1

2

|PF|最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出雙曲線(xiàn)的離心率e=2，右準(zhǔn)線(xiàn)為l：x=

3

2

．作MN⊥l于N，交雙曲線(xiàn)右支于P，連結(jié)FP，根據(jù)圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定義得到|PM|+

1

2

|PF|=|PM|+|PN|．由平幾知識(shí)可得：當(dāng)M、N、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PM|+|PN|=|MN|達(dá)到最小值，由此即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和|PM|+

1

2

|PF|的最小值．

解答：解：∵雙曲線(xiàn)方程為

x2

9

-

y2

27

=1，
∴a=3，b=3

3

，c=

a2+b2

=6
可得離心率e=

c

a

=2，

a2

c

=

3

2

，所以右準(zhǔn)線(xiàn)為l：x=

3

2

作MN⊥l于N，交雙曲線(xiàn)右支于P，連結(jié)FP，則
由圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定理各

PF

PN

=e，可得|PF|=e|PN|=2|PN|
∴|PN|=

1

2

|PF|，因此，|PM|+

1

2

|PF|=|PM|+|PN|
當(dāng)且僅當(dāng)M、N、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PM|+|PN|=|MN|達(dá)到最小值
此時(shí)，在

x2

9

-

y2

27

=1中令y=3，得x=±2

3

∵x＞0，∴取x=2

3

即當(dāng)P的坐標(biāo)為（2

3

，3）時(shí)，|PM|+

1

2

|PF|的最小值為|MN|=

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)P和定點(diǎn)M（5，3），求|PM|+

1

2

|PF|的最小值，著重考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義等知識(shí)，屬于中檔題．