已知f1（x）=sin2x，記fn+1（x）=fn′（x），（n∈N*），則f1(
π
6
)+f2(
π
6
)+…+f2 012(
π
6
)=
 
．
分析：根據(jù)題目給出的f1（x），依次求導得到f2（x），f3（x），…，然后把sin
π
3
和cos
π
3
的值代入，得到要求的和式是以1為首項，以-4為公比的等比數(shù)列的前1006項和，運用等比數(shù)列前n項和公式即可求解．
解答：解：∵f1（x）=sin2x，
∴f2（x）=f1′（x）=（sin2x）′=2cos2x，f3（x）=f2′（x）=（2cos2x）′=-4sin2x，


f4（x）=f3′（x）=（-4sin2x）′=-8cos2x，f5（x）=f4′（x）=（-8cos2x）′=16sin2x，…


∵sin2×
π
6
=sin
π
3
=
3
2
，cos2×
π
6
=cos
π
3
=
1
2
，
∴f1(
π
6
)+f2(
π
6
)+…+f2 012(
π
6
)=
3
2
+2×
1
2
-22×
3
2
-23×
1
2
+24×
3
2
+…-22011×
1
2

=（
3
2
-22×
3
2
+24×
3
2
-…-22010×
3
2
）+（2×
1
2
-23×
1
2
+25×
1
2
-…-22011×
1
2
）

=
1×[1-(-4)1006]
1-(-4)
×
3
2
+
2×[1-(-4)1006]
1-(-4)
×
1
2
=
1-22012
5
×(
3
+2
2
)=
3
+2
10
(1-22012)
故答案為
3
+2
10
(1-22012)
點評：本題考查了導數(shù)的運算，數(shù)列的求和，考查了學生分析和發(fā)現(xiàn)問題的能了，考查了運算能力，本題屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f1（x）=|3x-1|，f2（x）=|a•3x-9|（a＞0），x∈R，且f(x)=
f1(x)     f1(x)≤f2(x)   
f2(x)     f1(x)＞f2(x)
．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當2≤a＜9時，設f（x）=f2（x）所對應的自變量取值區(qū)間的長度為l（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在這樣的a，使得當x∈[2，+∞）時，f（x）=f2（x）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f1（x）=sinx+cosx，且f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn（x）=fn-1′（x），…（n∈N*，n≥2），則f1(
π
4
)+f2(
π
4
)+…+f2011(
π
4
)=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=4sin2x•sin2(x+
π
4
)+cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若g(x)=f(x+φ)，(-
π
2
＜φ＜
π
2
)在x=
π
3
處取得最大值，求φ的值；
（Ⅲ）求y=g（x）的單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f1（x）=ax，f2（x）=xa，f3（x）=logax，（a＞0且a≠1），在同一坐標系中畫出其中兩個函數(shù)在第Ⅰ象限的圖象，正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函數(shù)f（x）定義為：對每個給定的實數(shù)x，f(x)=
f1(x)    f1(x)≤f2(x) 
f2(x)    f1(x)＞f2(x) 

（1）若f（x）=f1（x）對所有實數(shù)x都成立，求a的取值范圍；
（2）設t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．設函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]上的單調遞增區(qū)間的長度之和為d（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），求
d
t
；
（3）設g（x）=x2-2bx+3．當a=2時，若對任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求實數(shù)b的取值范圍．

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