【題目】已知圓C的圓心為原點,且與直線 相切.
(1)求圓C的方程;
(2)點在直線上,過點引圓C的兩條切線, ,切點為, ,求證:直線恒過定點.
【答案】解:(1)依題意得:圓的半徑,所以圓的方程為。(4分)
(2)是圓的兩條切線, 。在以為直徑的圓上。
設(shè)點的坐標(biāo)為,則線段的中點坐標(biāo)為。
以為直徑的圓方程為(8分)
化簡得: 為兩圓的公共弦,
直線的方程為
所以直線恒過定點。(12分)
【解析】試題分析:(1)由圓C與直線相切,得到圓心到直線的距離d=r,故利用點到直線的距離公式求出d的值,即為圓C的半徑,又圓心為原點,寫出圓C的方程即可;
(2)由PA,PB為圓O的兩條切線,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA與AP垂直,OB與PB垂直,根據(jù)90°圓周角所對的弦為直徑可得A,B在以OP為直徑的圓上,設(shè)出P的坐標(biāo)為(8,b),由P和O的坐標(biāo),利用線段中點坐標(biāo)公式求出OP中點坐標(biāo),即為以OP為直徑的圓的圓心坐標(biāo),利用兩點間的距離公式求出OP的長,即為半徑,寫出以OP為直徑的圓方程,整理后,由AB為兩圓的公共弦,兩圓方程相減消去平方項,得到弦AB所在直線的方程,可得出此直線方程過(2,0),得證.
解:(1)依題意得:圓心(0,0)到直線的距離d=r,
∴d=,
所以圓C的方程為x2+y2=16①;
(2)連接OA,OB,
∵PA,PB是圓C的兩條切線,
∴OA⊥AP,OB⊥BP,
∴A,B在以OP為直徑的圓上,
設(shè)點P的坐標(biāo)為(8,b),b∈R,
則線段OP的中點坐標(biāo)為,
∴以OP為直徑的圓方程為,
化簡得:x2+y2﹣8x﹣by=0②,b∈R,
∵AB為兩圓的公共弦,
∴①﹣②得:直線AB的方程為8x+by=16,b∈R,即8(x﹣2)+by=0,
則直線AB恒過定點(2,0).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩支排球隊進(jìn)行比賽,先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是 ,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是 .設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.
(1)分別求甲隊3:0,3:1,3:2勝利的概率;
(2)若比賽結(jié)果3:0或3:1,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分,對方得1分,求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)1 , F2分別為橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點,頂點B的坐標(biāo)為(0,b),連接BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連接F1C.
(1)若點C的坐標(biāo)為( , ),且BF2= ,求橢圓的方程;
(2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的取值范圍是( )
A.
B.k<0或
C.
D.或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖,四棱錐P -ABCD的底面是矩形,側(cè)面PAD是正三角形,
且側(cè)面PAD⊥底面ABCD,E 為側(cè)棱PD的中點。
(1)求證:PB//平面EAC;
(2)求證:AE⊥平面PCD;
(3)當(dāng)為何值時,PB⊥AC ?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的最大值為3,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式和當(dāng)時的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)的圖象向右平行移動個長度單位,再向下平移1個長度單位,得到的圖象,用“五點法”作出在內(nèi)的大致圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0.若點B的坐標(biāo)為(1,2),求點A和點C的坐標(biāo).
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