Question

已知f（x）=

3

sin2x+cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

3

）．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱軸；
（2）若|

a

|=1，|

b

|=2，

3

≤|

a

+

b

|≤

7

，設(shè)

a

與

b

的夾角為x，求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱軸方程．
（2）根據(jù)已知不等式和兩向量的模整理可得cosx的范圍，進(jìn)而確定x的范圍，最后根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式和正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2x+cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

3

）=

3

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sinx+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
所以函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
（2）∵

3

≤|

a

+

b

|≤

7

，
∴3≤（|

a

+

b

|）²≤7，整理得3≤5+4cosx≤7，
∴-

1

2

≤cosx≤

1

2

，
∴

π

3

≤x≤

2π

3

，
∴

5π

6

≤2x+

π

6

≤

3π

2

，
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）≤1，
∴函數(shù)的最大值為1，最小值為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，以及數(shù)量積的運(yùn)用．解題過(guò)程運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想．