Question

12．雙曲線C的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），一條漸近線方程為y=$\sqrt{3}$x，
（1）求雙曲線C方程
（2）設(shè)直線L：y=kx+1與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)k為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）依題意，由其焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程可求得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=1，從而可得雙曲線C的方程；
（2）聯(lián)立直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1可得（3-k²）x²-2kx-2=0，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依題意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理，繼而可解得k的值．

解答 解：（1）由題意c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=1，
∴雙曲線C方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}-{y}^{2}$=1；
（2）由直線L：y=kx+1與雙曲線，聯(lián)立得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，且k≠±$\sqrt{3}$．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，
所以 x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{{k}^{2}-3}$
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即k²$\frac{2}{{k}^{2}-3}$+k•（$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$）+1+$\frac{2}{{k}^{2}-3}$=0，
解得k=±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，突出考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．