Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

4

x⁴+bx²+cx+d，當(dāng)x=t₁時(shí)，f（x）有極小值．
（1）若b=-6時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m-2，m+2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于：“方程h（x）=0有三個(gè)互異的實(shí)根．”，通過列出表格，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問題討論即可；
（2）存在性問題，只需即（x-2）²（x+4）＞0（*）在區(qū)間[m-2，m+2]上恒成立，最后轉(zhuǎn)化為子集問題即可．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=

1

4

x⁴+bx²+cx+d，
所以h（x）=f′（x）=x³-12x+c．
由題設(shè)，方程h（x）=0有三個(gè)互異的實(shí)根．
考察函數(shù)h（x）=x³-12x+c，則h′（x）=0，得x=±2．

所以

c+16＞0 c-16＜0

故-16＜c＜16．

（2）存在c∈（-16，16），
使f′（x）≥0，即x³-12x≥-c，（*）
所以x³-12x＞-16，
即（x-2）²（x+4）＞0（*）在區(qū)間[m-2，m+2]上恒成立．（7分）
所以[m-2，m+2]是不等式（*）解集的子集．
所以

m-2＞-4 m+2＜2

或m-2＞2，
即-2＜m＜0，或m＞4．（9分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，零點(diǎn)，極值與恒成立問題．