已知橢圓E：及點M（1，1）．
（1）直線l過點M與橢圓E相交于A，B兩點，求當點M為弦AB中點時的直線l方程；
（2）直線l過點M與橢圓E相交于A，B兩點，求弦AB的中點軌跡；
（3）（文）斜率為2的直線l與橢圓E相交于A，B兩點，求弦AB的中點軌跡．
（3）（理）若橢圓E上存在兩點A，B關(guān)于直線l：y=2x+m對稱，求m的取值范圍．
【答案】分析：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程可得，，利用點差法及點M（1，1）為弦AB中點，即可求得點M為弦AB中點時的直線l方程；
（2）設(shè)弦AB的中點為（x，y），則由（1）知，從而可得弦AB的中點軌跡；
（3）（文）設(shè)弦AB的中點為（x，y），則由（1）知2=，從而可得弦AB的中點軌跡；
（理）設(shè)A，B的中點M為（x，y），利用兩點A，B關(guān)于直線l：y=2x+m對稱，可得：，利用點M必在橢圓內(nèi)部，可求m的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程可得，
兩式相減可得=
∵點M（1，1）為弦AB中點，∴=-
∴點M為弦AB中點時的直線l方程為y-1=-（x-1），即9y+4x-13=0
（2）設(shè)弦AB的中點為（x，y），則由（1）知，即9y2+4x2-9y-4x=0，∴弦AB的中點軌跡為橢圓；
（3）（文）設(shè)弦AB的中點為（x，y），則由（1）知2=，即9y+2x=0，∴弦AB的中點軌跡為直線；
（理）設(shè)A，B的中點M為（x，y），kAB==①
又中點M在直線l：y=2x+m上，y=2x+m②
由①②得：
點M必在橢圓內(nèi)部，所以有
∴
∴m2＜4
解得：-2＜m＜2
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合，考查點差法的運用，考查對稱性，解題的關(guān)鍵是正確運用點差法．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
3
2
)三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過定點F(-
3
，0)作直線l與橢圓E交于M、N兩點，求△OMN的面積S的最大值及此時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過A(-2，0)，B(1，
32
)兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若橢圓E的左、右焦點分別是F、H，過點H的直線l：x=my+1與橢圓E交于M、N兩點，則△FMN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
9
+
y2
4
=1及點M（1，1）．
（1）直線l過點M與橢圓E相交于A，B兩點，求當點M為弦AB中點時的直線l方程；
（2）直線l過點M與橢圓E相交于A，B兩點，求弦AB的中點軌跡；
（3）（文）斜率為2的直線l與橢圓E相交于A，B兩點，求弦AB的中點軌跡．
（3）（理）若橢圓E上存在兩點A，B關(guān)于直線l：y=2x+m對稱，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點F1(-
5
，0)，若橢圓上存在一點D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF1相切于線段DF1的中點F．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知兩點Q（-2，0），M（0，1）及橢圓G：
9x2
a2
+
y2
b2
=1，過點Q作斜率為k的直線l交橢圓G于H，K兩點，設(shè)線段HK的中點為N，連接MN，試問當k為何值時，直線MN過橢圓G的頂點？
（Ⅲ） 過坐標原點O的直線交橢圓W：
9x2
2a2
+
4y2
b2
=1于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓W于B，求證：PA⊥PB．

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