Question

19．為了解學生寒假期間學習情況，學校對某班男、女學生學習時間進行調(diào)查，學習時間按整小時統(tǒng)計，調(diào)查結(jié)果繪成折線圖如下：

（Ⅰ）已知該校有400名學生，試估計全校學生中，每天學習不足4小時的人數(shù)；
（Ⅱ）若從學習時間不少于4小時的學生中選取4人，設選到的男生人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列；
（Ⅲ）試比較男生學習時間的方差${S_1}^2$與女生學習時間方差$S_2^2$的大�。�（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由折線圖分析可得20名學生中有12名學生每天學習不足4小時，進而可以估計校400名學生中天學習不足4小時的人數(shù)；
（Ⅱ）學習時間不少于4本的學生共8人，其中男學生人數(shù)為4人，故X的取值為0，1，2，3，4；由古典概型公式計算可得X=0，1，2，3，4的概率，進而可得隨機變量X的分布列；
（Ⅲ）根據(jù)題意，分析折線圖，求出男生、女生的學習時間方差，比較可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，由折線圖可得12名男生中有8名每天學習不足4小時，
8名女生中有4名每天學習不足4小時，
即20名學生中有12名學生每天學習不足4小時，
每天學習不足4小時的人數(shù)為：$400×\frac{12}{20}=240$人．
（Ⅱ）學習時間不少于4本的學生共8人，其中男學生人數(shù)為4人，故X的取值為0，1，2，3，4．
由題意可得$P（X=0）=\frac{C_4^4}{C_8^4}=\frac{1}{70}$；   
 $P（X=1）=\frac{C_4^1C_4^3}{C_8^4}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$；
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_4^2}{C_8^4}=\frac{36}{70}=\frac{18}{35}$；  
  $P（X=3）=\frac{C_4^3C_4^1}{C_8^4}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$；
$P（X=4）=\frac{C_4^4}{C_8^4}=\frac{1}{70}$．
所以隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{70}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{1}{70}$

隨機變量X的均值$EX=0×\frac{1}{70}+1×\frac{16}{70}+2×\frac{36}{70}+3×\frac{16}{70}+4×\frac{1}{70}=2$．
（Ⅲ）根據(jù)題意，對于男生，學習時間1小時的有1人，學習時間2小時的有4人，學習時間3小時的有3人，學習時間4小時的有2人，學習時間5小時的有2人，
其平均數(shù)${\overline{x}}_{1}$=$\frac{1}{12}$（1×1+2×4+3×3+4×2+5×2）=3，
其方差${s_1}^2$=$\frac{1}{12}$[（1-3）²+4×（2-3）²+3×（3-3）²+2×（4-3）²+2×（5-3）²]=1.5；
對于女生，學習時間2小時的有1人，學習時間3小時的有3人，學習時間4小時的有3人，學習時間5小時的有1人，
其平均數(shù)${\overline{x}}_{2}$=$\frac{1}{8}$（1×2+3×3+4×3+5×1）=3.5，
其方差${s_2}^2$=$\frac{1}{8}$[（2-3.5）²+3×（3-3.5）²+3×（4-3.5）²+（5-3.5）²]=0.75；
比較可得${s_1}^2＞$${s_2}^2$．

點評 本題考查隨機變量的分布列、期望與方差的計算，涉及折線圖的應用，關鍵是利用折線圖分析數(shù)據(jù)．