Question

9．定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)為單位分?jǐn)?shù)，我們可以把1拆為若干個不同的單位分?jǐn)?shù)之和．如：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$，以此類推，可得：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，其中a＜b，a，b∈N^*，設(shè)1≤x≤a，1≤y≤b，則$\frac{x+y+4}{x+2}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{25}{3}$
• B． $\frac{23}{7}$
• C． $\frac{8}{7}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，結(jié)合裂項相消法，可得 $\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{33}{260}$，解得a，b值，可得答案．

解答 解：∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∵1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{33}{260}$，∴a=13，b=20，
則$\frac{x+y+4}{x+2}$=1+$\frac{y+2}{x+2}$，
∵1≤x≤13，1≤y≤20，
∴y=1，x=13時，$\frac{x+y+4}{x+2}$的最小值為$\frac{6}{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查歸納推理，考查學(xué)生的計算能力，確定a，b的值是關(guān)鍵．