（1）求離心率為
5
3
，且與雙曲線
x2
4
-y2=1有公共焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求一條漸近線為2x+3y=0且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
分析：（1）根據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，可得c=
a2-b2
=
5
且
c
a
=
5
3
，聯(lián)解可得a、b的值，從而得到所求橢圓的方程；
（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為4x2-9y2=λ，根據(jù)λ＞0和λ＜0時(shí)兩種情況加以討論，分別解關(guān)于λ的方程，可得λ的值，代入所設(shè)方程再化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（1）∵橢圓與雙曲線
x2
4
-y2=1有公共焦點(diǎn)，且雙曲線的焦點(diǎn)為（±
5
，0），
∴設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，滿足a2-b2=5…①
又∵橢圓離心率為
5
3
，∴
c
a
=
5
3
…②
聯(lián)解①②，得
a=3
b=2
，故所求橢圓的方程為
x2
9
+
y2
4
=1
（2）∵雙曲線的一條漸近線方程為2x+3y=0，
∴設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為4x2-9y2=λ，
化成標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
λ
4
-
y2
λ
9
=1（λ＞0）或
y2
-
λ
9
-
x2
-
λ
4
=1（λ＜0）
∵雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，可得b=2
∴當(dāng)λ＞0時(shí)，
λ
9
=4可得λ=36，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
9
-
y2
4
=1；
當(dāng)λ＜0時(shí)，-
λ
4
=4可得λ=-16，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
16
9
-
x2
4
=1
綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
9
-
y2
4
=1或
y2
16
9
-
x2
4
=1
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
5
3
，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點(diǎn)，試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，滿足|PF1|=6-|PF2|，且橢圓C的離心率為
5
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)Q（1，0）且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N，在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使得
GM
•
GN
為定值．若存在，求出所有滿足這種條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
5
3
，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB互相垂直？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（1）求離心率為
5
3
，且與雙曲線
x2
4
-y2=1有公共焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求一條漸近線為2x+3y=0且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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