Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f(

1

an

)，n∈N*．
（1）求為數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）²ⁿ⁺¹a_2na_2n+1，求T_n．
（3）令b_n=

1

an-1an

(n≥2)，b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜

m-2008

2

對(duì)一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意列出遞推公式，再由等差數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式a_n．
（2）根據(jù)式子的特點(diǎn)進(jìn)行變形，然后由（1）知數(shù)列為等差數(shù)列求T_n．
（3）把a(bǔ)_n代入b_n整理后再裂項(xiàng)，然后求數(shù)列{b_n}的前n和s_n，再用放縮法和不等式恒成立問題，求m的值．

解答：解：（1）∵an+1=f(

1

an

)=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

=an+

2

3

∴{an}是以

2

3

為公差的等差數(shù)列
又a₁=1，∴an=

2

3

n+

1

3

…（4分）
（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）²ⁿ⁺¹a_2na_2n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）=-

4

3

(a2+a4+…+a2n)=-

4

3

•

n( 5 3 + 4n 3 + 1 3 )

2

=-

4

9

(2n2+3n)…（12分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

1

an-1an

=

2

( 2 3 n- 1 3 )( 2 3 n+ 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
又b1=3=

9

2

(1-

1

3

)∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

9

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

9

2

(1-

1

2n+1

)
=

9n

2n+1

…（9分）∵Sn＜

m-2008

2

對(duì)n∈N^*成立．
即

9n

2n+1

＜

m-2008

2

．

9n

2n+1

=

9

2

(1-

1

2n+1

)遞增，
當(dāng)b→∞時(shí)，

9n

2n+1

→

9

2

且

9n

2n+1

＜

9

2

．∴

m-2008

2

≥

9

2

，m≥2017．
∴最小正整數(shù)m=2017…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的前兩小題考查了等差數(shù)列的定義求和問題，最后一小題有一定的難度，用到了裂項(xiàng)相消法求和，處理不等式時(shí)用到了放縮法，使得不等式恒成立．