Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）當x＞2時，f（x）＞kx-2k恒成立，求正整數(shù)k的最大值．（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828…）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的定義域，再求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點后求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)t與

1

e

的關(guān)系分析原函數(shù)在[t，t+1]上的單調(diào)性，從而求出原函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入f（x）＞kx-2k，由f（x）＞kx-2k恒成立分離變量k，構(gòu)造輔助函數(shù)后求導(dǎo)，對于導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)零點存在定理得到零點所在區(qū)間，求出構(gòu)造函數(shù)的最小值，再由最小值在導(dǎo)函數(shù)零點所在區(qū)間得到正整數(shù)k的最大值．

解答：解：（I）∵f（x）=xlnx的定義域為（0，+∞），
由f'（x）=lnx+1=0，得：x=

1

e

．
當x∈(0，

1

e

)時，f'（x）＜0，當x∈(

1

e

，+∞)時，f'（x）＞0，
∴f（x）在(0，

1

e

)內(nèi)單調(diào)遞減，在(

1

e

，+∞)上單調(diào)遞增．
∴當0＜t≤

1

e

時，f（x）在[t，t+1]上的最小值為f(

1

e

)=-

1

e

，
當t＞

1

e

時，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，∴f（x）的最小值為tlnt．
∴f(x)min=

- 1 e ， 0＜t≤ 1 e tlnt， t＞ 1 e

；
（II）當x＞2時，f（x）＞kx-2k恒成立可轉(zhuǎn)化為k＜

xlnx

x-2

恒成立，
令g(x)=

xlnx

x-2

，(x＞2)，g′(x)=

(lnx+1)(x-2)-xlnx

(x-2)2

=

-2lnx+x-2

(x-2)2

，
令h(x)=-2lnx+x-2，h′(x)=-

2

x

+1＞0，∴h（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∵h（5）=-2ln5+3＜0，h（6）=-2ln6+4＞0，
∴存在唯一的實數(shù)x₀∈（5，6），使h（x₀）=0，
即-2lnx₀+x₀-2=0，
當x∈（2，x₀）時，g'（x）＜0，當x∈（x₀，+∞）時，g'（x）＞0．
∴g（x）在（2，x₀）內(nèi)單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g(x)min=g(x0)=

x0lnx0

x0-2

=

x0lnx0

2lnx0

=

x0

2

．
∵

5

2

＜

x0

2

＜3，∴正整數(shù)k的最大值為2．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了導(dǎo)數(shù)在最大最小值中的應(yīng)用，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法和分離變量法，解答此題的關(guān)鍵在于二次求導(dǎo)得到所構(gòu)造函數(shù)的極值點所在的區(qū)間，是難度較大的題目．