Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-m|（m＞0）．
（1）若f（x）≥5恒成立，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，記m的最小值是m₀，若$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$=m₀，則當(dāng)a，b，c取何值時(shí)，a²+4b²+9c²取得最小值，并求出該最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的最小值，利用f（x）≥5恒成立，得到關(guān)于m的不等式，即可求m的取值范圍；
（2）由柯西不等式可得（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$）（a²+4b²+9c²）≥（1+4+9）²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-m|≥|x+1-x+m|=|1+m|，
∵f（x）≥5恒成立，
∴|1+m|≥5，
∴1+m≤-5或1+m≥5，
∵m＞0，
∴m≥4；
（2）m的最小值是m₀=4，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$=4，
由柯西不等式可得（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$）（a²+4b²+9c²）≥（1+4+9）²，
∴a²+4b²+9c²≥49，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\frac{1}{a}}{a}=\frac{\frac{2}}{2b}=\frac{\frac{3}{c}}{3c}$，
即|a|=|b|=|c|=$\frac{\sqrt{14}}{2}$時(shí)a²+4b²+9c²取得最小值49．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了運(yùn)用柯西不等式求最值與柯西不等式的等號(hào)成立的條件等知識(shí)，屬于中檔題．