Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，其左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．Q為橢圓的左頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)S（-

6

5

，0），且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得VQAB為等腰三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由|OP|=

15

2

得關(guān)系式，再由

PF1

•

PF2

=

3

4

得關(guān)系式，兩式聯(lián)立求出c，再由離心率求得a，結(jié)合b²=a²-c²求出b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A，B的中點(diǎn)，若否存在直線l，使得△QAB為等腰三角形，則AB中點(diǎn)與Q的連線與AB垂直，由斜率之積等于-1列式求k的值，此時得到了矛盾式子，說明使得△QAB為等腰三角形的直線l不存在．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），∵|OP|=

15

2

，∴x02+y02=

15

4

①
又

PF1

•

PF2

=

3

4

，∴(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

，即x02-c2+y02=

3

4

②
①代入②得：c=

3

．又e=

3

2

，∴a=2，b=1．
故所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）直線l的方程為y=k(x+

6

5

)，
聯(lián)立

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

，得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
x1+x2=-

240k2

25+100k2

，x1x2=

144k2-100

25+100k2

．
設(shè)AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
則x0=-

120k2

25+100k2

，y0=k(

6

5

-

120k2

25+100k2

)=

30k

25+100k2

．
所以kMQ=

30k 25+100k2

2- 120k2 25+100k2

=

3k

5+8k2

．
若三角形QAB為等腰三角形，則MQ⊥AB，
即

3k

5+8k2

•k=-1，此式無解，
所以使得△QAB為等腰三角形的直線l不存在．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是難題．