Question

下面關(guān)于棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中的四個(gè)命題：
①與AD₁成60°角的面對(duì)角線的條數(shù)是8條；
②直線AA₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

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；
③從8個(gè)頂點(diǎn)中取四個(gè)點(diǎn)可組成 10 個(gè)正三棱錐；
④點(diǎn)A₁到直線BC₁的距離是

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．
其中真命題的編號(hào)是______．

Answer 1

①與AD₁成60°角的面對(duì)角線的條數(shù)是8條，由圖形中可以看出除了其所在面以及平行的兩個(gè)面外的四個(gè)表面中每個(gè)面的兩條面對(duì)角線都與與AD₁成60°角，恰有8條，故命題正確；
②直線AA₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

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，取底面ABCD中點(diǎn)O，可證得∠AA₁O即是線AA₁與平面A₁BD所成角，求得線面角的余弦值為

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，故此命題不對(duì)；
③從8個(gè)頂點(diǎn)中取四個(gè)點(diǎn)可組成 10 個(gè)正三棱錐，由圖形的結(jié)構(gòu)知，以8個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以此點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱為側(cè)棱可以 組成8個(gè)正三棱錐，由面對(duì)角線可以組成兩個(gè)正四面體，共可以組成10個(gè)正三棱錐，故命題正確；
④點(diǎn)A₁到直線BC₁的距離是

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，由于A₁B₁⊥側(cè)面B₁C，且側(cè)面是正方形，連接B₁C與BC₁交于一點(diǎn)M，由正方形的性質(zhì)知，此兩直線垂直，連接A₁M其長(zhǎng)度即為所求點(diǎn)A₁到直線BC₁的距離，利用勾股定理解得，其長(zhǎng)度是

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，故命題不正確．
綜上知①③正確
故答案為：①③．