Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F的直線交y軸正半軸于點P，交拋物線于A，B兩點，其中點A在第一象限．
（Ⅰ）求證：以線段FA為直徑的圓與y軸相切；
（Ⅱ）若

FA

=λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，

λ1

λ2

∈[

1

4

，

1

2

]，求λ₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知F(

p

2

，0)，設(shè)A（x₁，y₁），則y₁²=2px，圓心(

2x1+p

4

，

y1

2

)，然后分別求出圓心到y(tǒng)軸的距離和圓半徑，由此能夠證明以線段FA為直徑的圓與y軸相切．
（Ⅱ）設(shè)設(shè)P（0，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

FA

=λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，得(x1-

p

2

，y1)=λ1(-x1，y0-y1)，(

p

2

-x2，-y2)=λ2(x1-

p

2

，y1)，所以y₂²=λ₂²y₁²，x₂=λ₂²x₁，代入

p

2

-x2=λ2(x1-

p

2

)，得x1=

p

2λ2

，代入x1-

p

2

=-λ1x1，

1

λ2

=1-

λ1

x2

，再由

λ1

λ2

∈[

1

4

，

1

2

]，能求出λ₂的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知F(

p

2

，0)，設(shè)A（x₁，y₁），則y₁²=2px，
圓心(

2x1+p

4

，

y1

2

)，
圓心到y(tǒng)軸的距離是

2x1+p

4

，
圓半徑為

|FA|

2

=

1

2

×|x1-(-

p

2

)|=

2x1+p

4

，
∴以線段FA為直徑的圓與y軸相切．
（Ⅱ）設(shè)P（0，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

FA

=λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，
得(x1-

p

2

，y1)=λ1(-x1，y0-y1)，(

p

2

-x2，-y2)=λ2(x1-

p

2

，y1)，
∴x1-

p

2

=-λ1x1，y₁=λ₁（y₀-y₁），

p

2

-x2=λ2(x1-

p

2

)，y₂=-λ₂y₁，
∴y₂²=λ₂²y₁²，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂．
∴x₂=λ₂²x₁，
代入

p

2

-x2=λ2(x1-

p

2

)，
得

p

2

-λ22x1=λ2(x1-

p

2

)，

p

2

(1+λ2)=x1λ2(1+λ2)，
整理，得x1=

p

2λ2

，
代入x1-

p

2

=-λ1x1，得

p

2λ2

-

p

2

=

λ 1p

2λ2

，
∴

1

λ2

=1-

λ1

λ2

，
∵

λ1

λ2

∈[

1

4

，

1

2

]，
∴λ₂的取值范圍[

4

3

，2]．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．