Question

函數(shù)y=

3- 3 4 x2

的圖象上至少存在不同的三點(diǎn)到（1，0）的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則公比的取值范圍

[

3

3

，1）∪（1，

3

]

．

Answer 1

分析：將函數(shù)化簡整理，可得函數(shù)圖象是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的上半部分，而點(diǎn)F（1，0）恰好是橢圓的右焦點(diǎn)．設(shè)圖象上有三個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃滿足P₁F、P₂F、P₃F構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為q，可得

|PF3|

|PF1|

=q²．最后根據(jù)橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大、最小值，討論得到公比q的取值范圍．

解答：解：將函數(shù)函數(shù)y=

3- 3 4 x2

化簡，整理得

x2

4

+

y2

3

=1，其中y≥0
所以函數(shù)圖象是橢圓的上半部分，如右圖
可得a²=4，b²=3，所以c²=a²-b²=1，
所以點(diǎn)F（1，0）恰好是橢圓的右焦點(diǎn)
設(shè)圖象上有三個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃滿足P₁F、P₂F、P₃F構(gòu)成等比數(shù)列，
且公比為q
即

|P2F|

|P1F|

=

|P3F|

|P2F|

=q，所以

|P3F|

|P1F|

=q²
①當(dāng)q＞1時(shí)，|P₃F|≤a+c=3，|P₁F|≥a-c=1
∴q²≤3，解之得1＜q≤

3

②當(dāng)0＜q＜1時(shí)，類似①的方法可得

3

3

≤q＜1
綜上所述，可得q的取值范圍是

3

3

≤q＜1或＜q≤

3

故答案為：[

3

3

，1）∪（1，

3

]

點(diǎn)評：本題給出橢圓上有三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，求公比的取值范圍，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題．