Question

5．已知圓C的圓心為原點(diǎn)，且與截直線$x+y+2\sqrt{6}=0$所得弦長(zhǎng)等于圓的半徑．
（1）求圓C的半徑；
（2）點(diǎn)P在直線x=8上，過(guò)P點(diǎn)引圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，
求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）依題意得：圓C的半徑$r=\frac{{4\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+1}}}=4$，可得圓C的方程．
（2）由PA，PB是圓C的兩條切線，可得OA⊥AP，OB⊥BP．A，B在以O(shè)P為直徑的圓上．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），b∈R，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（{4，\frac{2}}）$．可得以O(shè)P為直徑的圓方程．AB為兩圓的公共弦，可得方程，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）依題意得：圓C的半徑$r=\frac{{4\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+1}}}=4$，所以圓C的方程為x²+y²=16．（4分）
（2）證明：∵PA，PB是圓C的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP．∴A，B在以O(shè)P為直徑的圓上．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），b∈R，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（{4，\frac{2}}）$．∴以O(shè)P為直徑的圓方程為${（{x-4}）^2}+{（{y-\frac{2}}）^2}={4^2}+{（{\frac{2}}）^2}，b∈R$
化簡(jiǎn)得：x²+y²-8x-by=0，b∈R∵AB為兩圓的公共弦，∴直線AB的方程為8x+by=16，b∈R
所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．