Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在x=1處的切線為l：3x-y+1=0，當(dāng)x=

2

3

時，y=f（x）有極值．
（1）求a、b、c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)f'（1）=3，f′(

2

3

)=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）的解析式，然后求導(dǎo)數(shù)后令導(dǎo)函數(shù)等于0，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)在[-3，1]上的單調(diào)性，最后可求出最值．

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得
f′（x）=3x²+2ax+b
當(dāng)x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．①
當(dāng)x=

2

3

時，y=f（x）有極值，則f′(

2

3

)=0，
可得4a+3b+4=0．②
由①、②解得a=2，b=-4．
由于l上的切點的橫坐標(biāo)為x=1，
∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．
∴c=5．
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f′（x）=3x²+4x-4．
令f′（x）=0，得x=-2，或x=

2

3

．

∴f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=13．
在x=

2

3

處取得極小值f(

2

3

)=

95

27

．
又f（-3）=8，f（1）=4．
∴f（x）在[-3，1]上的最大值為13，最小值為

95

27

．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．