Question

△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若B=60°，a=（

3

-1）c．
（1）求角A的大��；
（2）已知當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）=cos2x+asinx的最大值為3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）用題目中所給的條件建立方程，通過(guò)消元得到關(guān)于角A的等式，利用它求角A的砰然函數(shù)值來(lái)，進(jìn)而求出角．
（2）題目中知道了最大值為3，利用f_max=3建立相關(guān)的方程，此處要用二次函數(shù)在某一個(gè)確定區(qū)間上的最值問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)來(lái)最值為3的條件轉(zhuǎn)化為參數(shù)a的方程來(lái)求值，進(jìn)而再由面積公式求出三角形的面積，

解答：解：（1）因?yàn)锽=60°，所以A+C=120°，C=120°-A
∵a=（

3

-1）c，由正弦定理可得：sinA=（

3

-1）sinC
sinA=（

3

-1）sin（120°-A）=（

3

-1）（sin120°cosA-cos120°sinA）
=（

3

-1）（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
整理得，tanA=1
∴A=45°．
（2）f（x）=1-2sin²x+asinx，令t=sinx，
∵x∈[

π

6

，

π

2

]，
∴t∈[

1

2

，1]
f（x）=g（t）=-2t²+at+1=-2（t-

a

4

）²+

a2

8

+1，t∈[

1

2

，1]
若

a

4

＜

1

2

，即a＜2
f_max=g（

1

2

）=

1

2

a+

1

2

=3，，故a=5（舍去）
若

1

2

≤

a

4

≤1即2≤a≤4，
f_max=g（

a

4

）=

a2

8

+1=3，得a=3
若

a

4

＞1，即a＞4，
f_max=g（

1

2

）=1-2+a=a-1=3，得a=4（舍去）
故a=4，S_△ABC=6+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理，角的變換，三角轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得到關(guān)于最值3的方程，求參數(shù)求最值，方法靈活，技巧性很強(qiáng)，是一道能訓(xùn)練答題都靈活答題能力的好題