Question

已知函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）如果關(guān)于x的方程f（x）=kx³有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用單調(diào)函數(shù)的定義證明函數(shù)的單調(diào)性設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＞0，得到f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)x≥0時(shí)利用分式的性質(zhì)求值域因?yàn)?≤x＜x+2∴

x

x+2

＜1，即0≤f（x）＜1；
（3）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=kx³，∴x=0為方程的解．當(dāng)x＞0時(shí)，∴x2(x+2)=

1

k

，當(dāng)x＜0時(shí)，∴-x2(x+2)=

1

k

，即得到函數(shù)g（x）=

x2(x+2)，(x＞0) -x2(x+2)，(x＜0，x≠2)

，與函數(shù)h（x）=

1

k

圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)畫出g（x）的大致圖象，可得k的范圍．

解答：解：（1）設(shè)0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

(x2+2)(x1+2)

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

x

x+2

＞0，
又，
∴

x

x+2

＜1，即0≤f（x）＜1；
當(dāng)x＜0（x≠-2）時(shí)，f（x）=

-x

x+2

=y，
∴x=

-2y

y+1

，由x＜0，得
y＜-1或y＞0．
∴f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪[0，+∞）．
（3）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=kx³，
∴x=0為方程的解．
當(dāng)x＞0時(shí)，

x

x+2

=kx3，∴kx²（x+2）=1，∴x2(x+2)=

1

k

，
當(dāng)x＜0時(shí)，

-x

x+2

=kx3，∴kx²（x+2）=-1，∴-x2(x+2)=

1

k

，
即看函數(shù)g（x）=

x2(x+2)，(x＞0) -x2(x+2)，(x＜0，x≠

-2)
與函數(shù)h（x）=

1

k

圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)畫出g（x）的大致圖象，
∴

1

k

＞-

32

27

，
∴k＜-

27

32

或k＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用單調(diào)函數(shù)的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，利用反函數(shù)與導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，解決此類問(wèn)題的方法是熟悉單調(diào)函數(shù)的定義與求值域的方法．