Question

數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1=a_n²-2a_n+2（n∈N*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{a_n}中的任兩項(xiàng)互質(zhì)．
（3）記，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求S₂₀₀₉的整數(shù)部分．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1=a_n²-2a_n+2可得，a_n-1=（a_n-1-1）²，利用迭代的方法可求通項(xiàng)公式
（2）由a_n-2=a_n-1（a_n-1-2），利用迭代法可得，a_n=a_n-1a_n-2…a₂a₁+2，結(jié)合（1）中的通項(xiàng)公式可知a_n為奇數(shù)，可證明
（3）由a_n+1-2=a_n（a_n-2），可得，結(jié)合已知，可得，利用疊加法可求S₂₀₀₉，從而可求
解答：解：（1）由題意可得，
當(dāng)也成立，所以（5分）
證明：（2）因?yàn)閍_n-2=a_n-1（a_n-1-2）=a_n-1a_n-2（a_n-2-2）=…=a_n-1a_n-2…a₂a₁
所以a_n=a_n-1a_n-2…a₂a₁+2，（9分）；
因?yàn)閍_n為奇數(shù)，所以對(duì)任意的n＞1，a_n與前面項(xiàng)a₁，a₂，…，a_n-1均互質(zhì)．（12分）．
解：（3）因?yàn)閍_n+1-2=a_n（a_n-2）
所以，=
所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225509770416910/SYS201311012255097704169016_DA/8.png">，
所以16分）；
所以S₂₀₀₉=b₁+b₂+…+b₂₀₀₉
=
∴
∵
∴
所以S₂₀₀₉的整數(shù)部分為1（19分）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列中迭代法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，疊加法求解數(shù)列的和，解題中要求考生具備一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力．