已知y=f（x），f(
1
2
)=4，對任意實數(shù)x，y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3．
（Ⅰ）當(dāng)n∈N*時求f（n）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若b1=1，bn+1=
bn
1+bn•f(n-1)
(n∈N*)，求bn；
（ III）記c n=
4bn
(n∈N*)，試證c1+c2+…+c2010＜89．
分析：（Ⅰ）令x=y=
1
2
，得f(1)=f(
1
2
+
1
2
)=2f(
1
2
)-3=5，由此導(dǎo)出f（n+1）-f（n）=2，從而求出當(dāng)n∈N*時求f（n）的表達(dá)式．
（Ⅱ）由bn+1=
bn
1+bn•f(n-1)
(n∈N*)得
1
bn+1
=
1
bn
+f(n-1)=
1
bn
+2n+1，由此能夠?qū)С鯾n．
（ III）由題設(shè)條件可推出cn=
4bn
=
1
n
，再由放縮法可以證明c1+c2+…+c2010＜89．
解答：解：（Ⅰ）令x=y=
1
2
，
得f(1)=f(
1
2
+
1
2
)=2f(
1
2
)-3=5
故f（n+1）=f（n）+f（1）-3=f（n）+2，
∴f（n+1）-f（n）=2
當(dāng)n∈N*時f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]++[f（n）-f（n-1）]
=5+2（n-1）=2n+3
（Ⅱ）由bn+1=
bn
1+bn•f(n-1)
(n∈N*)
得
1
bn+1
=
1
bn
+f(n-1)=
1
bn
+2n+1
∴
1
bn+1
-
1
bn
=2n+1
故
1
bn
=
1
b1
+(
1
b2
-
1
b1
)+(
1
b3
-
1
b2
)++(
1
bn
-
1
bn-1
)
=1+3+5++（2n-1）=n2
∴bn=
1
n2
，n∈N*
（ III）由（Ⅱ）知cn=
4bn
=
1
n
，c1=1
∵
1
n
=
2
n
+
n
＜
2
n
+
n-1
=2(
n
-
n-1
)，(n∈N*，n≥2)
∴c1+c2++c2010＜1+2(
2
-1)+2(
3
-
2
)++2(
2010
-
2009
)
=2
2010
-1＜2×45-1=89．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（1+x）t-1的定義域為（-1，+∞），其中實數(shù)t滿足t≠0且t≠1．直線l：y=g（x）是f（x）的圖象在x=0處的切線．
（1）求l的方程：y=g（x）；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，試確定t的取值范圍；
（3）若a1，a2∈（0，1），求證：
a
a1
1
+
a
a2
2
≥
a
a2
1
+
a
a1
2
．
注：當(dāng)α為實數(shù)時，有求導(dǎo)公式（xα）′=αxα-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•中山一模）已知函數(shù)f(x)=
13
x3-ax+b，其中實數(shù)a，b是常數(shù)．
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”發(fā)生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函數(shù)，g（a）是f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值，求當(dāng)|a|≥1時g（a）的解析式；
（Ⅲ）記y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），則當(dāng)a=1時，對任意x1∈[0，2]，總存在x2∈[0，2]使得f（x1）=f′（x2），求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省溫州中學(xué)2011－2012學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：013

已知y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，a∈R，那么“對任意的x∈R，|f(x)|≥a恒成立”的充要條件是

[　　]

A．對任意的x∈R，f(x)≥a或f(x)≤－a恒成立

B．對任意的x∈R，f(x)≥a恒成立或?qū)θ我獾膞∈R，f(x)≤－a恒成立

C．對任意的x∈R，f(x)≥|a|或f(x)≤－|a|恒成立

D．對任意的x∈R，f(x)≥a恒成立且對任意的x∈R，f(x)≥－a恒成立

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：中山一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax+b，其中實數(shù)a，b是常數(shù)．
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”發(fā)生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函數(shù)，g（a）是f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值，求當(dāng)|a|≥1時g（a）的解析式；
（Ⅲ）記y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），則當(dāng)a=1時，對任意x1∈[0，2]，總存在x2∈[0，2]使得f（x1）=f′（x2），求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆黑龍江虎林高中高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0，求實數(shù)a和b的值；

(2)若a<0，且對任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范圍．

【解析】第一問中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二問中，利用當(dāng)a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識來解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)當(dāng)a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0時恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范圍是

 

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