Question

已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點O，并且經(jīng)過點M（2，y₀）．若點M到該拋物線焦點F的距離為3，延長MF交拋物線于點N．
（1）求拋物線的方程；
（2）求MN的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為：y²=2px（p＞0）．由于點M（2，y₀）到該拋物線焦點F的距離為3，可得2+

p

2

=3，解得p即可得出．
（2）由拋物線方程可得焦點F（1，0）．把點M（2，y₀）代入拋物線方程可得M(2，2

2

)（取y₀＞0）．可得直線MN的方程為y=

2 2 -0

2-1

(x-1)，與拋物線方程聯(lián)立可得x₁+x₂=

5

2

．利用焦半徑可得|MN|=x₁+x₂+p．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為：y²=2px（p＞0）．
∵點M（2，y₀）到該拋物線焦點F的距離為3，
∴2+

p

2

=3，解得p=2．
∴拋物線的方程為：y²=4x．
（2）由拋物線方程可得焦點F（1，0）．
把點M（2，y₀）代入拋物線方程可得

y

2 0

=4×2，取y₀=2

2

．
∴M(2，2

2

)．
∴直線MN的方程為y=

2 2 -0

2-1

(x-1)，化為y=2

2

(x-1)，
代入拋物線方程可得：8（x-1）²=4x，化為2x²-5x+2=0，
解得x₁+x₂=

5

2

．
∴|MN|=x₁+x₂+p=

5

2

+2=

9

2

．

點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、焦半徑公式、弦長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．